明日は情報オリンピック本選ですね。
学校を休んで東京です。

問４．★
四角形ABCDは半径1の円に内接し，対角線どうしのなす角は60°である．対角線の交点をPとすると，AP=1/3,CP=2/3である．このときBPとDPの差の絶対値としてありうるものをすべて求めよ．ただし，XYで線分XYの長さを表わすものとする。

昨日携帯電話を買いました。最近のは多機能ですね。

解答は右下から。

(問題の著作権は数学オリンピック財団に帰属します)

<asi君の解き方>
AC=AP+CP=1/3+2/3=1
「対角線どうしのなす角は60°」について、
(i)∠APB=60°(∠CPB=120°)
(ii)∠CPB=60°(∠APB=120°)
の2つのパターンについて考える。

法べきの定理より、
 BP・DP=AP・CP=1/3・2/3=2/9
求めるのは、|BP-DP|だから、
BP+DP つまり、BDさえ求めれば、
 |BP-DP|²=(BP+DP)² ‐4BP・DP
で求まる！
BDは半径1の円の弦の長さ。
BDの中心からの距離を求めれば弦の長さもわかる！


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したがって、
(i)距離：d=√3/3
 (BP+DP)²=(2√1-d²)²
  =4(1‐1/3)
  =8/3
 |BP-DP|=4/3
(i)距離：d=√3/6
 (BP+DP)²=(2√1-d²)²
  =4(1-1/12)
  =11/3
 |BP-DP|=5/3
よって、答えは 4/3,5/3 だぜ！！楽勝だぜ！

<模範解答>
ACを1辺とする正六角形を描く。
1辺1の正六角形は半径1の円に内接するので、

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なんだとっ！！！！

こんな簡単なやり方があったのか…
こっちの方が簡単だし、速いし、計算ミスする恐れもない！
完敗だ・・・

(問題の著作権は数学オリンピック財団に帰属します)

[8回]