今日本選がありました。
疲れたぜ。まったく。
でもそれの記事はまた後日。

問３．★★
各桁の数字が相異なり，どれも0でないような3桁の正の整数nがある．nの各桁の数字を並べ替えて出来る6つの数の最大公約数をgとする．gとして考えられる最大の値を求めよ．

解答は右下から。

(問題の著作権は数学オリンピック財団に帰属します)

3桁の自然数abc(100の位がa,10の位がb,1の位がcという意)について考える。
ある3桁の整数についてのgと、その3桁の数のそれぞれの桁の数を小さい順に並べて変えて新たに出来た3桁の整数についてのgは同じ値をとるので、
a<b<cの場合についてのみ考える。
acbとabcの差は、
|(100a+10c+b)-(100a+10b+c)|=9(c-b)
abcとacbは共にgの倍数であるので、9(c-b)もgの倍数。
同様に考えると、9(c-a),9(b-a)もgの倍数。
1≦a<b<c≦9 より、c-b,c-a,b-a はすべて1以上8以下の数

c-b,c-a,b-a の最大公約数をhとする。
gは9hの約数

h≧5のとき、c-b≧5,c-a≧5,b-a≧5でなくてはならない。
 c-b≧5,b-a≧5 より、c-a=(c-b)+(b-a)≧5+5=10
 これは 1≦c-a≦8 を満たさないので不適。
h=4 のとき、(a,b,c)=(1,5,9)　このとき、g=3
h=3 のとき、(a,b,c)=(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9)
 (a,b,c)=(1,4,7)のとき、g=3
 (a,b,c)=(2,5,8)のとき、g=3
 (a,b,c)=(3,6,9)のとき、g=9
h=2 のとき、(a,b,c)=(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(4,6,8),(5,7,9)
 (a,b,c)=(1,3,5)のとき、g=9
 (a,b,c)=(2,4,6)のとき、g=6
 (a,b,c)=(3,5,7)のとき、g=3
 (a,b,c)=(4,6,8)のとき、g=18
 (a,b,c)=(5,7,9)のとき、g=3
h=1 のとき、gは9h=9の約数。よってg≦9

したがって、最大のgは18

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3の倍数判定法：各位の和が3の倍数
9の倍数判定法：各位の和が9の倍数
というのを思い出したら答えは9の倍数になるのだろうなと簡単に予想がつきますな。

倍数判定法の話が出たので倍数判定法の話を少し。
一般的に倍数判定法と呼ばれているのは10進法の話。

n進法の場合の、kの倍数判定法は、
n=kのとき：下1桁が0
k=n-1のとき：各位の和がkの倍数
k=n+1のとき：1桁ずつ飛ばして足して出来る和2つの差がkの倍数
k=n²のとき：下2桁が00(10進法の100の倍数判定法と同じ)
k≡0(mod(n-1))のとき：各位の和がkの倍数

＊a≡b(mod n)　とは、aをnで割った余りと、bをnで割った余りが等しいことを意味します。

(問題の著作権は数学オリンピック財団に帰属します)

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