遅くなりました。すみません。

問１０．★★★★★
正の整数nに対し，nの各桁の和をS(n)で表す．S(n)=5のとき，S(n⁵)としてありうる最大の値を求めよ．

問11,12は数学オリンピック財団から配られた模範解答で充分だと思います。
僕自身あれほど詳しく書ける自信ありません。
いつも思うのだが、数オリの作る解答は最後の方ばかり気合いが入っていて最初の方は手を抜いているように思えてならない。
一応答えだけ掲載。。。
問11.160°
問12.1004²=1008016[通り]

(問題の著作権は数学オリンピック財団に帰属します)
 

自分は3125と答えを書きました。
というのも、例えば、
「S(n)=3,S(n²)の最高は」
という問題だったら、



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という感じで解けそうだから、「同様に5⁵=3125じゃね？」て思ってたんですよ。。。
ですが！
PCに解かせてみたら389という謎の値がっ！
冷静に考えてみると、
nが10^aの位と10^bの位と10^cの位と10^dの位と10^eの位に1を持つとき、n⁵の10^a+b+c+d+eの位には、5!=120≧10で繰り上がり発生！答え3125はありえな～い！
同級生の天才秀才K君(本選銀賞)と解いてやっとこさ答えにたどり着きました。

<解答>
5乗した後の数値n⁵について、
a+b+c+d+e型:120 が 1[通り]
a+b+c+2d型:60 が ₅C₄×₄C₁=20[通り]
a+b+3c型：20 が ₅C₃×₃C₁=30[通り]
a+2b+2c型：30 が ₅C₃×₃C₁=30[通り]
a+4b型：5 が ₅C₂×₂C₁=20[通り]
2a+3b型：10 が ₅C₂×₂C₁=20[通り]
5a型：1 が ₅C₁=5[通り]
(1+2+0)×1+(6+0)×20+(2+0)×30+(3+0)×30+5×20+(1+0)×20+1×5
＝3+120+60+90+100+20+5
＝398
これで、桁をうまくとっても398以下しか無理ということが分かった。
あとは398となるa,b,c,d,e例示するだけ。
大きな数だが、a=1,b=10,c=100,d=1000,e=10000 とかいけそうな気がする。
にしても10000桁か。凄いな。アボガドロ数もびっくりだ(笑)

質問や指摘等あれば気軽にコメントください。
特に今回は飛躍が多めなので、要望があれば詳しく書きなおします。

(問題の著作権は数学オリンピック財団に帰属します)

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