今日の調理実習で…
出席番号5(asi)「俺は寝るぜ。ZZZzzz...」
出席番号2「リンゴコンポート用の砂糖が無いんだが…」
出席番号3「プリン用の砂糖なら俺が牛乳に混ぜて、それを卵に混ぜたぞ。」
出席番号1「ちょ待て、俺が卵に混ぜたぞ」
コンポート用砂糖40g＋プリン用砂糖＝80g　(4人分)
出席番号3「てか、なんでプリン作るのに耐熱皿使ってんの？」
出席番号1「え？違うの？マジ？」
出席番号3「プリントみてみようぜ。どこにある？」
出席番号1「これだな。えーと・・・」
出席番号3「あ、耐熱皿はリンゴコンポートのか。」
出席番号2「リンゴコンポート用の耐熱皿知らね？中に赤ワイン入ってるやつだよ」
出席番号1＆3「(汗)」
～試食タイム～
出席番号5(asi)「甘くね？」
出席番号8「甘いよね」
出席番号5「お前班違うだろ」
出席番号1「水が要るな…」

問９．★★★★★
白石2010個と黒石2010個を横一列に並べるとき，以下の条件をみたす並べ方は何通りあるか．
条件：列中の白石1個と黒石1個の組であって，白石が黒石より右にあるようなものが奇数組ある．

解答は右下から

(問題の著作権は数学オリンピック財団に帰属します)
 

模範解答の状態で既に十分に分かり易く解説されているので、それを写します。

<模範解答>
問題の条件に関係なく白石2010個と黒石2010個を横一列に並べると次の2通りに分けられる(以下では「左からi番目にある石」を単に「i番目の石」と書く)。
(1)任意のiに対して、2i-1番目と2i番目の石は同じ色の石である。
(2)あるiが存在して、2i-1番目と2i番目の石は異なる色の石である。
(1)と(2)の並べ方はすべて合わせて、₄₀₂₀C₂₀₁₀通りある。また、(1)では白石2個および黒石2個をそれぞれひと固まりで考えることで、並べ方は₂₀₁₀C₁₀₀₅通りある。これから(2)では₄₀₂₀C₂₀₁₀－₂₀₁₀C₁₀₀₅通りの並べ方があるとわかる。
次に、それぞれの場合に問題の条件を満たす並べ方が何通りあるか考える。
(1)の場合はどの並べ方でも問題の条件を満たさない。何故なら、2i-1番目の石とj番目の石の組(2i-1＜j)で左から黒石と白石になっているものと、2i番目の石とj番目の石の組(2i＜j)で左から黒石と白石になっているものは一対一に対応し、白石が右にある白石と黒石の組の個数が偶数と分かるからである。
(2)の場合はちょうど半分の並べ方が条件を満たすことを示そう。(2)の並べ方が1つあったとする(これをAとしよう)。このとき、2i-1番目と2i番目が異なる色になっているようなiのうち最小のものをkとし、Aの2k-1番目と2k番目の石を入れ替えた並べ方をBとする(Bも(2)の並べ方である)。AからBへ並べ替えたとき、白石が右にある白石と黒石の組の個数は2k-1番目と2k番目の石の組の分、すなわちちょうど1だけ変化する。また、AからBを得た方法で、BからはAが得られるので、このようなAとBをペアにすると、(2)の組は(₄₀₂₀C₂₀₁₀－₂₀₁₀C₁₀₀₅)/2 組のペアに分かれる。各ペアのうちちょうど片方が条件を満たすので、この場合は(₄₀₂₀C₂₀₁₀－₂₀₁₀C₁₀₀₅)/2 通りある。
以上を合わせて、(₄₀₂₀C₂₀₁₀－₂₀₁₀C₁₀₀₅)/2 通りとなる。

　
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(問題の著作権は数学オリンピック財団に帰属します)
 

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