アクセスは増えてるっぽいけどね、コメントがね、はい。

問７．★★★★
正の整数からなる無限数列a₁,a₂,a₃…がある．任意の正の整数nに対して2条件
●a_nはnの倍数
●|a_n-a_n+1|≦5
が成り立つとき,a₁としてありうる最大の値を求めよ．

ちなみに私は、何故か a₁<a₂<a₃<……と思い込んで解いてしまいました。通りで2chのみんなよりずいぶんと小さい値が出るわけですねｗ

解答右下から

(問題の著作権は数学オリンピック財団に帰属します)

<模範解答>

a_n+1≦a_n+5 より、a_n≦5(n-1)+a₁ が成り立ちます。
したがって、n≧a₁-4 のときa_n<6n が成り立ちます
a_nはnの倍数なので、a_n≦5n(n≧a₁-4)
すべてのnについてa_n≦5nが成り立つようにしてしまえば、「a_n=5nでa₁は5で最大だろ！それ以上なんて無理だよな！あはは！」となってしまいます。
n<a₁-4 部分の一部のnについてa_n>5n、つまり、a_n≧6nを成り立たせることで、a_n≧6を実現させることが出来ます。
この数列について考えるとき、十分に大きな全てのnに対してa_n≦5nが成り立つので、この数列にはa_m≧6nかつa_m+1≦5nなるmが存在します。
このとき、
 5≧a_m‐a_m+1≧6m-5(m-1)=m-5　　∴m≦10
したがって、a_n≦5n(n≧11) がわかる。
ゆえに、a₁₁≦55
a₁₀は10の倍数より、a₁₀≦60
同様に、順に、
a₁₀≦60,a₉≦63,a₈≦64,a₇≦63,a₆≦66,a₅≦70,a₄≦72,a₃≦75,a₂≦80,a₁≦85
これでa₁≦85が必要条件であることが示された。
a₁=85,a₂=80,a₃=75,a₄=72,a₅=70,a₆=66,a₇=63,a₈=64,a₉=63,a₁₀=60,a_n=5n(n≧11)
のとき成立するので、十分条件が示される。

したがって、最大値は、85

<asi君の不思議な解答>

●a_nはnの倍数
●|a_n-a_n+1|≦5
●a₁<a₂<a₃<……　(ミス要因！)
a₁=19のとき、a₂=20,a₃=21,a₄=24,a_n=5n(n≧5n)で成立する。

a₁≧20のとき、a₂≧22,a₃≧24,a₄≧28,a₅≧30……①
a_n≧n(n+1)(n≧5)を証明する。
(i)n=5のとき
 ①より成立
(ii)ある5以上のkについて a_k≧k(k+1)が成立するとき
 a_k+1はk+1の倍数なので、
 a_k+1≧(k+1)²
 a_(k+1)≧(k+1)²=k²+2k+1>k²+2k=(k+2)k
 a_(k+2)はk+2の倍数より、
 a_(k+2)≧(k+2)(k+1)
 したがって、a_k+2-a_k+1≦5より、
 a(k+1)≧a(k+2)-5≧(k+2)(k+1)-5
   =k²+3k-3
   =(k+1)²+(k-4)
   ≧(k+1)²+1　(k≧5より)
 a_k+1はk+1の倍数より、a_k+1≧(k+1)(k+2)
 したがって、k+1のときも成立する。
(i),(ii)より、数学的帰納法より、a_n≧n(n+1)(n≧5)が証明された。……②

a_n+1≦a_n+5 より、a_n≦5(n-1)+a₁ が成り立つ。
したがって、n≧a₁-4 のときa_n<6n が成り立つ。
a_nはnの倍数なので、a_n≦5n(n≧a₁-4)……③
②,③より、十分に大きい整数nについて、n(n+1)≦a_n≦5n
∴n(n+1)≦5n　∴0≦n≦4
nは十分に大きい整数なので、矛盾が生じる
したがって、a₁≧20 はありえない。

ゆえに、a₁の最大値は19

a₁<a₂<a₃<……の条件さえあれば完璧な答案なのになあ。
わざわざ問題に条件加えて難しくして時間かけて解いて結局点数貰えない俺は相当なバカだな。

(問題の著作権は数学オリンピック財団に帰属します)

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